любой вектор на
плоскости, а векторы
и
образуют базис. Так как
на плоскости всякие три вектора
линейно зависимы, то вектор
линейно выражается через векторы базиса, т. е.
выполняется соотношение6. Базис на плоскости и в пространстве.
Определение. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.
Из теоремы 2 (см. п. 4)
следует, что два любых неколлинеарных вектора
образуют базис. Пусть
любой вектор на
плоскости, а векторы
и
образуют базис. Так как
на плоскости всякие три вектора
линейно зависимы, то вектор
линейно выражается через векторы базиса, т. е.
выполняется соотношение
.
Если вектор
представлен в виде (3), то
говорят, что он разложен
по базису образованному
векторами и . Числа
и
называют координатами
вектора
на плоскости относительно
базиса и
1
. Разложение
вектора
по
и является единственным
Доказательство. Допустим, что наряду с разложением (3) имеет место разложение
Покажем, что в этом
случае
Действительно,
вычитая равенство (4) из
равенства (3), получаем соотношение
(Возможность почленного
вычитания равенств (4) и (3) и производимой
группировки членов вытекает из свойств
линейных операций над векторами (см.
п. 2).) Так как векторы базиса ,
линейно независимы, то
и
.
Отсюда
, т.е. разложение вектора
по базису ,
единственно.
Определение. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора.
Из теоремы 2 (см. п. 5)
следует, что три любых некомпланарных вектора
образуют базис. Как и в случае плоскости,
устанавливается, что любой вектор
разлагается по векторам
, 
и
причем это разложение единственное.
Числа 
,
,
называют
координатами
вектора
в пространстве относительно базиса
,
и .
Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.
Теорема . При
сложении двух_векторов
и
их
координаты
(относительно любого базиса
и или
любого базиса
, и
)
складываются. При умножении вектора
на
любое число, а
все его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть, например,
.
Тогда в силу свойств линейных операций (см. п. 2)
В силу единственности
разложения по базису
,,
теорема для
этого базиса доказана.
Понятие вектора | Линейные операции над векторами | Понятие линейной зависимости векторов|
Линейная зависимость векторов на плоскости | Линейная зависимость векторов в пространстве
Базис на плоскости и в пространстве | Проекция вектора на ось и ее свойства | Декартова прямоугольная система координат в пространстве| Цилиндрические и сферические координаты| Главная
