4. Линейная зависимость векторов на плоскости.

Теорема1 . Всякие три вектора , и на плоскости линейно зависимы.

Доказательство

Достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая.

1. Среди данных векторов имеется пара и . Тогда (см. п. 2)

т.е. вектор есть линейная комбинация векторов и .

2.Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О (рис.30). Покажем, что вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору  , а другой - вектору .

Для этого через конец М вектора проведем прямые, параллельные векторам и , до их пересечения в точках В и С c прямыми, на которых соответственно расположены векторы и . Имеем очевидное равенство

Так как векторы и коллинеарны соответственно векторам и , то и .

Поэтому , т.е. является линейной комбинацией векторов и .

Следствие.Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

В самом деле, пусть даны n векторов (n > 3). Так как три вектора на плоскости всегда линейно зависимы, то для векторов  имеем . В таком случае для всех n векторов можно написать

т.е. вектор есть линейная комбинация остальных векторов.

Что касается двух векторов и , то, как известно (см. п. 2), они коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство , т.е. когда векторы и линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы два вектора и на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они бы

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Понятие вектора | Линейные операции над векторами | Понятие линейной зависимости векторов|

Линейная зависимость векторов на плоскости |  Линейная зависимость векторов в пространстве

Базис на плоскости и в пространстве | Проекция вектора на ось и ее свойства | Декартова прямоугольная система координат в пространстве| Цилиндрические и сферические координаты| Главная