1.Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени.
Покажем, каким образом мы можем использовать матричный аппарат для решения систем линейных уравнений,
Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными :
Числа называются коэффициентами системы(1), а числа , ,…, - свободными членами. Система линейных уравнений (1) называется однородной, если = =...= = 0.
Матрица
называется матрицей системы(1), а ее определитель | А| -определителем системы (1).
Решением системы(1) называется совокупность чисел , , которые обращают все уравнения системы в тождества.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.
Пусть определитель системы (1) отличен от нуля.
Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через X и матрицу-столбец из свободных членов через В:
Согласно правилу умножения матриц имеем
Используя определение равенства матриц, данную систему (1) можно записать следующим образом:
АХ = В.(2)
Равенство (2) называется матричным уравнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица X.
Так как по условию |А| 0, то для матрицы А существует обратная матрица . Умножим обе части уравнения (2) слева на :
(АХ) = В.
Используя сочетательный закон умножения матриц (см. § 2.3, п.5), можно написать
( А)Х= В.
Но так как А = Е (см. § 2.4, п. 4) и ЕХ = X(см. § 2.3, п. 5), то получаем решение матричного уравнения в виде
Х = B.
Пример. Решить матричным способом систему уравнений:
В матричной форме эта система запишется в виде АХ = В. Здесь
Матрица была найдена ранее (см. § 2.4, п. 4). Теперь согласно равенству (3) имеем
Используя определение равенства матриц, получаем
Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестных удовлетворяют данной системе.
Матричная запись и матричное решение | Формулы Крамера | Линейная однородная система n уравнений с n неизвестными |